概念-悖论

悖论在本书中是探索自指、逻辑和形式系统局限性的核心工具。它通常指那些从看似合理的假设出发，通过看似无懈可击的逻辑推导，却得出了自相矛盾或荒谬结论的陈述或思想实验。

蒯恩对悖论的分类

书中提及了哲学家蒯恩（Willard Van Orman Quine）对悖论的思考，他将悖论分为不同类型并探讨其解决方法。

蒯恩对许多问题的思考集萃。第一篇论文讨论各类悖论及其解决。他在其中引入了我在我的书中称作“㧟摁”的方法。

Quine Willard Van Orman[蒯恩·威拉德·范·奥尔曼]，The Ways of Paradox, and Other Essays《悖论之路及其它论文》，纽约：Random House，1966年版。

芝诺悖论

古希腊哲学家芝诺提出的悖论，如阿基里斯和乌龟的赛跑，揭示了人类直觉在理解无穷、运动和时空连续性等概念时遇到的困难。这些悖论在书中被反复引用，并成为人物-阿基里斯和人物-乌龟对话的基础。

论古代芝诺悖论文章的汇编，利用现代集合论、量子力学等思想对之进行仔细考察。吸引人而且富于启发性，偶尔也很幽默。

Salmon Wesley[萨尔门·魏斯利]编：Zeno’s Paradoxes《芝诺脖论》，纽约：Bobbs-Merrill，1970年版，平装本。

逻辑与自指悖论

书中大量讨论了由概念-自指引发的逻辑悖论，例如说谎者悖论。这些悖论直接关联到概念-哥德尔不完全性定理的核心思想，即任何足够强大的形式系统中都存在无法判定真假的命题。

有时递归似乎与悖论很接近，例如递归定义。这样的定义可能会给粗心的人一种印象，即事物自己定义自己。那就会出现绕圈子了，而且即使不导致悖论，也会导致无穷回归。

比如，我们可以有一个叫做“小句”的RTN，由豪华名词和及物动词组成，就是说，当它需要为及物动词设定主语时，它调用豪华名词；反过来，豪华名词的上通道中前面的部分实际上就是个小句，也即在豪华名词中有通道要调用小句这个RTN。这就是间接递归的一个例子。这也让人想起说谎者悖论的两步形式。

卡罗尔的逻辑悖论

刘易斯·卡罗尔的对话《阿基里斯与乌龟》揭示了一个深刻的逻辑悖论：即使前提和推理规则都已被接受，人们仍可能拒绝接受结论，这引出了对推理过程本身是否需要更高层次规则的无穷回溯问题。

就像刘易斯·卡罗尔信手借来芝诺的乌龟和阿基里斯一样，我也信手借来刘易斯·卡罗尔的乌龟和阿基里斯。在卡罗尔的对话中，同样的事件一次又一次地发生，只是每一次都发生在更高的层次上，它与巴赫的“无穷升高的卡农”绝妙地相似。即便不谈其中的妙语，卡罗尔的对话也仍然包含有深刻的哲学问题，即：文字和思维是否遵循形式规则？