音乐-卡农

卡农（Canon）是一种古老而严格的复调音乐形式，其核心特征是一个初始的旋律（主题）被一个或多个声部在一定的时空延迟后进行精确的模仿。在本书中，卡农不仅是一种音乐形式，更是概念-形式系统、概念-递归和概念-自指等核心思想的完美音乐同构体。

卡农与形式系统

卡农的结构可以被看作一个简单的概念-形式系统：

• 公理：初始的主题旋律。
• 推理规则：模仿的规则（例如，“在两个小节后，以低五度的音开始模仿”）。

从这个角度看，整首卡农乐曲都是由一条“公理”和一条“规则”推导出的“定理”集合。这种结构上的相似性，使得卡农成为理解形式化思想的绝佳例子。

每种类型的卡农都以某种方式采用原主题，并用同构或保持信息的变换复制该主题。

书中出现的特殊卡农

人物-约翰·塞巴斯蒂安·巴赫将卡农的艺术发展到了极致，书中重点讨论了他在音乐-音乐的奉献中创作的几种极为精巧的卡农，它们分别对应着不同的逻辑和哲学概念：

• 螃蟹卡农 (Crab Canon)：一个声部是另一个声部的逆行（像螃蟹一样横着走）。它在音乐上实现了完美的对称和反演，是概念-悖论和对称性的听觉体现。

• 无穷升高的卡农 (Canon per Tonos)：在每次反复时都升高一个调，永不回到主调，形成一个听觉上的“怪圈”（Strange Loop）。这是对概念-哥德尔不完全性定理中纠缠层次最著名的音乐类比。

在G图中，我们有所有这些类型的变换，并且还要多。完整G图与在它自己内部的它自身的副本之间的映射涉及了大小的变化、扭曲、镜像等等许多东西。

通过对这些复杂卡农的分析，本书揭示了在音乐、艺术和数学中潜藏的共通的深层结构。