概念-一致性
一致性（Consistency）是概念-形式系统的一个关键性质，它涉及到系统内部的无矛盾性以及系统与其解释所对应的外部世界之间的相符性。本书通过对一致性的探讨，揭示了概念-意义与形式化推理之间的深刻联系。
一致性的定义
一致性并非形式系统固有的绝对属性，而是依赖于我们为该系统选择的解释。一个形式系统（加上一个解释）是一致的，指的是其中每个定理经过解释后都成为一个真陈述。
我们来严格地定义一个形式系统（加上一个解释）的一致性：这是指其中每个定理经解释后都成为一个真陈述。如果至少有一个经解释后的定理是假陈述，我们就说出现了不一致性。
内部一致性与外部一致性
书中区分了两种一致性：
- 与外部世界的一致性：要求系统中的所有定理在解释后，都与我们所生活的现实世界的事实相符。
- 内部一致性：要求系统中的所有定理在解释后，彼此之间是相容的，不直接产生矛盾。这不一定需要它们在现实世界中为真，但必须可能在一个“可想象的”世界中同时为真。
内部一致性不要求所有的定理都得成为真陈述，只需它们能成为彼此相容的陈述。
为了决定几个陈述是否彼此相容，你得设法想象一个世界，在其中它们能同时都真。所以，内部的一致性有赖于与外部世界的一致性——只是现在，“外部世界”允许是任何想象的世界，而不必是我们生活于其中的那个世界。
解释与一致性的恢复
一个看似不一致的系统，通常可以通过改变其符号的解释来恢复一致性。书中以修改后的pq系统为例，说明了增加一条新公理模式xqxp-后，若沿用旧的解释（q为“等于”，p为“加”），系统会产生如“2等于1加1”这样的假定理，从而变得不一致。但如果将q重新解释为“小于或等于”，系统就重新获得了一致性。
只要重新解释系统中的某些符号，那些问题马上就消失了。……对于原来那个pq系统，它挺好。但现在看来，把它用在新的pq系统上过于随意，也没有道理，就像用“马-苹果-幸福”来解释旧的pq系统一样。
几何学的例子
历史上关于理论-非欧几里德几何的发现，是理解一致性与解释之间关系的最佳范例。长期以来，数学家试图证明欧几里德第五公设，但最终发现，否定该公设可以建立起逻辑上完全自洽的非欧几何学。这表明，“点”、“线”等几何术语的概念-意义是由它们所在的公理系统（欧氏或非欧氏）所隐含定义的，而非依赖于我们对现实空间的直观印象。
理解非欧几何的线索是“率直对待”来自像萨彻利和兰伯特的几何学里的命题。只是当你没能摆脱先入为主的“直线”观念时，萨氏命题才“与直线的本质相抵触”。而若你能使自己摆脱那些先入的印象，只让“直线”是那种满足新命题的东西，那你就达到了一个崭新的视点。
一致性是形式系统能够获得被动意义的最低条件，它与概念-完全性共同构成了评价一个形式系统能否精确捕捉其目标论域（如数论）的关键标准。