形式系统-pq系统

pq系统是书中介绍的第二个概念-形式系统，被设计用来阐释一个核心议题：概念-意义是如何从无意义的符号操作中，通过概念-同构而产生的。

本章中的形式系统叫做pq系统。……它的重要性，实际上仅在于它为在本书中起着相当重要作用的许多概念提供了一个非常好的例子。

系统定义

pq系统使用三个不同的符号：

pq系统有无穷多条公理，它们由一个单一的公理模式生成：

定义：只要x仅由一串短杠组成，那么x-qxp-就是一条公理。

请注意“x”在两次出现时必须是代表同一串短杠。比如：---q—p-是一条公理。

pq系统只有一条生成规则：

pq系统的精妙之处在于，它的定理与自然数的加法之间存在着一个明确的概念-同构。通过建立如下的解释，系统中的定理便获得了概念-意义：

在这种解释下，定理--q-p---就意味着“2加1等于3”。该系统的设计确保了所有定理都是真命题，并且所有关于两个正整数相加的真命题都能表示为系统中的定理，因此它是一个一致且完全的系统。

我是有意地选择“q”，因为英语里“等于”这个词是equal，而选择“p”是因为英语里“加”这个词是plus。那么，-----q—p---这个符号串真的意味着“5等于2加3”吗？

我的回答是：我们在pq定理与加法之间看到了同构。

书中还指出，pq系统可以有另一种同样有意义的解释，即将q解释为“减”，p解释为“等于”。在这种解释下，定理-----q--p---意味着“5减2等于3”，这同样是一个真命题。这个例子说明，概念-意义并非符号唯一的固有属性，而是取决于我们找到的概念-同构关系。

当现实世界中的不同方面彼此同构时（这里是说加法和减法），一个形式系统可以与这两者都同构，因此可以有两种被动意义。这种符号和符号串的二值性是一个极其重要的现象。