概念-元

“元”（Meta）是一个前缀，在本书的语境中，它指代一种“关于性”（aboutness），即跳出一个系统、在更高层次上对该系统本身进行描述、分析或评论。这个概念是理解概念-哥德尔不完全性定理和概念-自指的关键。

跳出系统

在探索任何概念-形式系统时，我们都可以在两种模式下工作：在系统内部机械地操作（机方式/J方式），或跳出系统对系统本身的性质进行思考（惟方式/W方式）。“元”概念就体现在这第二种模式中，它是一种概念-智能固有的能力。

能够跳出正在进行的工作并且看一下已经做了些什么，这是智能固有的特点。它总是寻找并且常常能找到模式。

在研究形式系统时，很重要的一点是要区分在系统之内的工作，和做出关于系统的判断或说明。

元数学

在数学和逻辑学中，“元”的概念体现为“元数学”（Metamathematics）。元数学不是在某个形式系统内部进行推导，而是关于这个形式系统的研究。它探讨的是诸如概念-一致性、概念-完全性以及系统内定理和真理之间的关系等问题。

1931年以来元数学方面最重要的论文的汇编……包含哥德尔1931年的论文、哥德尔一次就他的结果所讲的课的讲稿笔记的翻译、然后是丘奇、克里尼、罗瑟、波斯特和图灵的论文。

Davis Martin[戴维斯·马丁]，The Undecidable《不可判定的》，纽约，Hewlett: Raven Press，1965年版。

数理逻辑的经典著作。他的那本教材（见上条）只是一个缩写本。严格而完整，但是陈旧。

Kleene Stephen C.[克利尼·斯蒂芬]，Jntroduction to Metamathematics《元数学导论》，新泽西，Princeton: D. Van Nostrand，1952年版。

哥德尔证明中的“元”

人物-库尔特·哥德尔的证明巧妙地构建了一个元数学论述，但将其完全编码在了数论的语言之内。他创造了一个概念-形式系统中的命题（G），这个命题在被解释时，实际上是在对系统自身的一个属性（即G本身的可证性）进行陈述。这是一种在系统内部实现的、关于系统的、元层次的观察。

对哥德尔公式的有益讨论。其基础建立在对三个层次的严格区分上：未经解释的形式系统、解释过的形式系统和元数学。值得一读。

Lacey Hugh and Geoffrey Joseph[拉西·休；乔弗里·约瑟]，“What the Gödel Formula Says”[哥德尔的公式说了什么]，Mind《心智》77(1968)，第77页。

通过这种方式，系统内部的语言（对象语言）和关于系统的语言（元语言）被同构地联系在了一起，这是实现概念-自指并最终证明概念-哥德尔不完全性定理的核心技巧。