理论-非欧几里德几何
非欧几里德几何（Non-Euclidean Geometry）泛指所有不同于传统欧几里德几何的、逻辑自洽的几何学系统。它的诞生是数学史上的一次深刻革命，它彻底改变了人们对数学真理、公理系统和概念-意义的看法，是本书中阐释概念-形式系统思想的核心历史案例。
历史背景
两千多年来，人物-欧几里德的《几何原理》被视为绝对真理的典范。然而，其第五条公设（平行公设）因其复杂性，一直被怀疑是否可以由前四条公设推导出来。无数数学家（如萨彻利、兰伯特）试图证明它，但他们的努力却在不经意间推导出了一个又一个奇异但无矛盾的“新几何学”的命题。
多少个世纪里，数不清的人花费了他们生命里数不清的岁月，试图去证明第五公设本身便是四公设几何学的一部分。
非欧几何的诞生
最终在十九世纪，高斯、鲍耶、罗巴切夫斯基等人认识到，一个逻辑一致的几何学完全可以建立在对平行公设的否定之上。通过修改这条公理，他们分别独立地发现了双曲几何、椭圆几何等非欧几何形式。
这是自古以来单一的数学的一个分叉点。1823年，作为那种无从解释的巧合之一，非欧几何同时被两个人发现了。他们是匈牙利数学家雅诺（或约翰）·鲍耶，二十一岁，和俄国数学家尼古拉伊·罗巴切夫斯基，三十岁。
对形式系统思想的启示
非欧几何的发现对本书的核心思想至关重要：
- 真理的相对性：它证明了数学真理不是绝对的，而是相对于所选择的公理系统而言的。欧氏几何与非欧几何都是“正确”的概念-形式系统。
- 意义由系统定义：它揭示了“点”、“线”等基本术语并没有固有的、直观的概念-意义，其全部概念-意义都由它们所在的公理系统所隐含定义。这使得数学从对现实空间的研究，转变为对抽象形式结构的研究。
理解非欧几何的线索是“率直对待”来自像萨彻利和兰伯特的几何学里的命题。只是当你没能摆脱先入为主的“直线”观念时，萨氏命题才“与直线的本质相抵触”。而若你能使自己摆脱那些先入的印象，只让“直线”是那种满足新命题的东西，那你就达到了一个崭新的视点。
这一思想解放为概念-哥德尔不完全性定理的诞生铺平了道路，因为哥德尔的证明正是建立在对概念-形式系统本身进行研究的基础之上的。