概念-完全性

完全性（Completeness）是与概念-一致性互补的概念，是评价一个概念-形式系统能否精确捕捉其意图描述的现实领域的关键标准。如果说一致性是要求系统“只说真话”，那么完全性就是要求系统“说出全部真话”。

完全性的定义

一个形式系统（加上一个解释）是完全的，意指每一个能由该系统中的概念表示出来的、在其解释领域内为真的陈述，都是该系统的一条定理。

一致性是说：“系统产生的每个东西都是真的”，完全性是倒过来：“每个真陈述都是由系统产生的”。

完全性：所有真的（在某个想象的世界里）且可表示成系统中的良构符号串的陈述都是定理。

完全性、一致性与意义

完全性可以被视为对符号解释的最高确认。如果一个系统是一致的但却不完全，这说明系统的能力与其解释之间存在错配。例如，pq系统在解释为“加法”时是完全的，因为它能生成所有关于两个正整数相加的真命题。但如果修改了系统或解释，就可能破坏其完全性。

如果概念-一致性是符号获得被动意义的最低条件，那么与之互补的概念，完全性，是那些被动意义的最高确认。

有人可能会争辩说这个系统是不完全的，根据是三个正整数的加法式子（如2+3+4=9）没有被pq系统的定理所体现……然而，这个符号串不是良构的……三个数的加式用系统中的概念根本不可表示——所以系统还是有完全性的。

哥德尔不完全性定理

本书的核心思想之一，概念-哥德尔不完全性定理，正是关于完全性的一个深刻结论。该定理指出，任何“足够强有力”（即能表达初等数论）的一致的形式系统，本质上都是不完全的。

这意味着，在任何这样的系统中，都必然存在一些为真但无法在系统内部被证明的命题。这些命题是良构的，并且其概念-意义在数论领域中是真实的，但它们却不是系统的定理。

哥德尔不完全性定理说的是任何“足够强有力”的系统，由于其能力较强，因而是不完全的。即：存在良构的符号串，表示了数论中的真陈述，但不是定理（有属于数论的真陈述在系统内不可证）。

pq系统这样的系统是完全的，但能力不强。它们更像是低保真的唱机：太贫乏了，很明显做不了我们想要它们做的——即告诉我们数论中的每件事实。