人物-欧几里德

欧几里德（Euclid, 约公元前300年）是古希腊数学家，被誉为“几何学之父”。他在本书中被反复提及，因为他所创立的公理化方法是概念-形式系统最早、最成功的范例之一。

《几何原理》与公理化方法

欧几里德的著作《几何原理》是科学史上影响最深远的著作之一。他在这本书中，从少数几个定义、公设（即公理）和公理出发，通过严格的逻辑推导，建立起了整个宏伟的几何学大厦。这种从有限的初始集合出发，通过规则推演出无穷定理集合的方法，正是概念-形式系统的核心思想。

主要原因在于欧几里德是数学中严格性的创始人。《几何原理》从非常简单的概念、定义等开始，逐渐地建立起许多结果，形成了一个庞大的体系。

对数论的贡献

除了几何学，欧几里德也对数论做出了奠基性的贡献。书中以他“关于素数有无穷多个的证明”为例，来说明真正的数学证明是如何通过有限的、令人信服的推理步骤，来得到一个无法通过直接计算验证的、关于无穷集合的深刻结论。

这个陈述——被称做“欧几里德定理”（请注意是黑体字）——不是显然的。……然而，欧几里德及后来的数学家一直说它是真的。什么原因呢？原因是，推理告诉他们是这样的。

第五公设与非欧几何

欧几里德的第五公设（平行公设）因其复杂性而引发了长达两千年的争议。数学家们试图从前四个公设出发证明第五公设，但最终的努力却意外地导致了理论-非欧几里德几何的诞生。这段历史是书中用以阐明概念-形式系统的概念-一致性、概念-独立性以及概念-意义如何依赖于公理选择的关键案例。

在欧几里德的《几何原理》中，用来建构证明的东西是人类语言——一种充满隐患的复杂又难以捉摸的通讯媒介。……尽管如此，缝隙还是有的，造成了一部经典著作中轻微的瑕疵。但不应抱怨这一点，只应该体会到绝对严格与相对严格之间的差别。毕竟，在欧几里德写下他的著作两千多年以后，他缺乏绝对的严格性这一点导致了数学中一些最富成果的新分支。