对话-咏叹调及其种种变奏

《咏叹调及其种种变奏》是本书的最后一段对话，其标题和结构都是对人物-约翰·塞巴斯蒂安·巴赫的《哥德堡变奏曲》（Goldberg Variations）的致敬。《哥德堡变奏曲》以一首优美的咏叹调（Aria）开始和结束，中间包含了三十个风格各异的变奏。这篇对话模仿了这种“主题与变奏”的形式，探讨了从简单的规则中如何涌现出复杂的、不可预测的行为。

对话的核心主题

对话的核心是讨论著名的“3n+1”问题（也称考拉兹猜想或角谷猜想）。这个问题规则极其简单，但其产生的序列行为却异常复杂，至今仍是数学中的未解之谜。这与“主题与变奏”的音乐形式形成了深刻的概念-同构：

• 主题 (Aria) ↔ 简单的初始规则 (如 “3n+1” 问题)
• 变奏 (Variations) ↔ 规则作用下产生的复杂多样的行为 (如数字序列)

咏叹调及其种种变奏》中提到过）和其它数论问题。

Nievergelt Jurg, J. C. Farrar, and E. M. Reingold[尼佛格尔特·尤格；法拉尔；莱因格尔德]，Computer Approaches to Mathematical Problems《解决数学问题的计算机方法》，新泽西，Englewood Cliffs: Prentice-Hall，1974年版。

思想的融合

这篇对话作为全书的终曲，将之前章节中探讨的各种思想——概念-形式系统、概念-递归、不完全性、概念-智能的本质——汇集在一起。它通过“3n+1”问题这个具体的例子，展示了即使在完全确定的概念-形式系统中，也可能存在我们无法预测或证明其最终行为的命题。

这篇对话最终回到了人物-阿基里斯和人物-乌龟的初始场景，形成了一个宏大的“怪圈”，暗示了全书的概念-自指结构，就像《哥德堡变奏曲》最后回到了咏叹调一样，使整部作品浑然一体，循环往复，余音绕梁。