命题函式是一个包含一个或多个未定变元的表达式，当为其变元赋以确定值后，该表达式便成为一个具有确定真值的命题。
“‘x 是人’是一个命题函式；只要给 x 指定一个值，它就成为一个命题。
一个命题函式本身无所谓真，也无所谓假，它只是一个概型。
所有逻辑的基本思想，实际上都是从命题函式这个概念中派生出来的。
展开阐述
“命题函式”（Propositional Function）是伯特兰·罗素在其逻辑原子主义哲学中提出的一个核心概念，它构成了其分析语言和世界结构的基础工具。这个概念源于数学中的“函式”或“函数”，并被罗素应用于逻辑和语言分析。
核心内涵
- 不确定性：命题函式不是一个完整的命题，因为它包含至少一个未被赋值的“变元”（variable）。例如，“x 是一座城市”就是一个命题函式。它本身没有真假可言，因为它没有对任何具体事物做出断言。
- 由函式到命题：当命题函式中的变元“x”被一个具体的“值”（value）或“主项”（argument）所替换时，它就变成了一个完整的、有真值的“命题”。例如，将“x”替换为“北京”，我们就得到命题“北京是一座城市”，这个命题是真的。
- 函式与原子事实：在罗素的逻辑原子主义中，最简单的命题函式对应着“原子事实”（atomic facts）的结构。例如，原子事实“苏格拉底是智慧的”，其逻辑形式可以表示为命题函式
W(x)（x是智慧的），其中“苏格拉底”是使这个函式为真的一个值。
作用与影响
- 量化理论的基础：命题函式是理解量化理论（theory of quantification）的关键。一个全称命题，如“所有人都会死”，在逻辑上被分析为“对于所有的x，如果x是人，那么x会死”。这可以看作是对命题函式
M(x)（x会死）进行断言，即“对于所有满足H(x)（x是人）的值，M(x)为真”。同样，特称命题“有些哲学家是希腊人”被分析为“至少存在一个x，使得x是哲学家且x是希腊人”。 - 描述理论的核心：罗素著名的“摹状词理论”（Theory of Descriptions）也建立在命题函式之上。他将含有摹状词的句子（如“当今法国国王是秃头”）分析为关于命题函式的复杂存在断言，从而消解了这类句子带来的逻辑难题。
- 连接逻辑与世界：通过命题函式，罗素试图建立一种逻辑上完美的语言，其句法结构能够精确地镜像（mirror）世界的逻辑结构。他认为，世界的最终构成要素（原子事实）与最简单的命题函式在结构上是同构的。