罗素悖论揭示了朴素集合论中的一个深刻矛盾：由所有不包含自身的集合所构成的集合，它既包含自身又不包含自身。
让 w 是所有不作为自身分子的类的类。于是，关于这个 w，可以问：它是不是它自身的一个分子？
如果它是一个分子，那么它就属于那些不作为自身分子的类，于是它就不是一个分子。
如果它不是一个分子，那么它就不属于那些不作为自身分子的类，于是它就是一个分子。
因此，无论哪个答案都会导出它的反面。这便是一个矛盾。
展开阐述
“罗素悖论”（Russell’s Paradox）是罗素于1901年发现的一个逻辑悖论，它直接冲击了弗雷格试图将数学奠基于逻辑之上的宏伟计划，并引发了第三次数学危机。这个悖论虽然形式简单，但揭示了朴素集合论（Naïve Set Theory）的内在缺陷。
悖论的构造
朴素集合论的一个基本假定是“概括原则”（或称内涵原则），即任何具有某种性质的对象的集合本身也是一个集合。罗素基于此构造了悖论：
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定义两种集合：
- 正常集合：不包含其自身的集合。例如，所有“桌子”的集合，这个集合本身不是一张桌子，所以它不包含自身。
- 异常集合：包含其自身的集合。例如，所有“非桌子”的集合，这个集合本身也不是一张桌子，所以它包含自身。
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构造罗素集合 R：
- 让 R 是由“所有正常集合”所构成的集合。即
R = {x | x ∉ x}（x 不是 x 自己的成员）。
- 让 R 是由“所有正常集合”所构成的集合。即
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提出关键问题：
- 集合 R 本身是正常集合还是异常集合？换句话说，
R ∈ R是否成立？
- 集合 R 本身是正常集合还是异常集合？换句话说，
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推导出矛盾：
- 假设 R 是一个正常集合（
R ∉ R）：根据 R 的定义（它包含所有正常集合），R 应该包含它自己。因此，R ∈ R。这与假设矛盾。 - 假设 R 是一个异常集合（
R ∈ R）：根据 R 的定义（它只包含正常集合），R 不应该包含它自己。因此，R ∉ R。这同样与假设矛盾。
- 假设 R 是一个正常集合（
结论是，R ∈ R 当且仅当 R ∉ R，这是一个无法消解的逻辑矛盾。
理发师比喻
为了通俗地解释这个悖论，罗素提出了一个著名的比喻：
在一个村子里，有一位理发师，他宣称：“我给且仅给村里所有不自己刮胡子的人刮胡子。” 问：这位理发师给不给自己刮胡子？
- 如果他给自己刮胡子，他就属于“自己刮胡子的人”，根据他的宣言，他不应该给自己刮胡子。
- 如果他不给自己刮胡子，他就属于“不自己刮胡子的人”，根据他的宣言，他应该给自己刮胡子。
深远影响
- 引发数学危机：罗素悖论表明，不能任意地假定任何性质都能定义一个集合。它摧毁了弗雷格的逻辑大厦，动摇了数学的基础，引发了关于数学本质的大讨论。
- 催生了类型论：为了解决这个悖论，罗素自己发展了“类型论”，旨在通过对语言和集合进行层次划分来避免这种自我指涉的矛盾。
- 推动了公理化集合论的发展：为了规避悖论，策梅洛（Zermelo）和弗兰克尔（Fraenkel）等人发展了公理化集合论（如ZFC系统），通过更严格的公理（如分类公理替代概括原则）来限制集合的构成，从而排除了罗素悖论这样的病态集合。