概念-图形与衬底

图形与衬底（Figure and Ground）是本书中用以探讨“正”空间与“负”空间、定理与非定理、递归可枚举集与递归集之间关系的核心类比。它揭示了在一个系统中，被明确定义（图形）的集合与其补集（衬底）之间的深刻对称性与非对称性问题。

艺术中的图形与衬底

人物-毛里茨·科内利斯·艾舍尔是利用图形与衬底进行艺术创作的大师。在他的作品中，前景（图形）和背景（衬底）常常可以互换，两者都构成了有意义的、可识别的形状，这种图形被称为“倍流畅的”。

当一个图形或“正空间”（例如，一个人形、一个字母、一个静物）画在画框里时，不可避免地也就画上了与它互补的形状——也称作“衬底”、“背景”或“负空间”。

在流畅可画出的图形中，衬底仅仅是绘画过程中顺带的副产品。而在倍流畅的图形中，衬底本身也可视为一个图形。这通常都需要艺术家的精心构思。“倍流畅”的“倍”字表示前景和背景都是流畅地画出来的——图形是“双倍流畅的”。

艾舍尔是画倍流畅图形的大师——例如，他倍流畅地画出的那些漂亮的鸟（图16）。

音乐中的图形与衬底

在音乐中，特别是人物-约翰·塞巴斯蒂安·巴赫的作品中，也存在图形与衬底的类比。例如旋律（图形）与和声伴奏（衬底）的关系。在巴赫的复调音乐中，各个声部都同等重要，都可被视为“图形”，因此他的音乐可被称为“倍流畅的”。

在音乐中也可以找到图形与衬底。类比之一就是旋律与伴奏之间的区别——因为在某种意义上讲，旋律总是处在我们注意力的前沿，而伴奏是第二位的。因此当我们在一部乐曲的较低声部发现可识别的旋律时会很惊奇。

在巴赫的音乐里——各个声部，不论是高是低或在中间，都是起“图形”作用的。从这个意义上讲，巴赫的曲子可以称为“倍流畅的”。

形式系统中的图形与衬底

这个概念被引申到数理逻辑和概念-形式系统中，用以区分递归可枚举集和递归集。

• 递归可枚举集 (Recursively Enumerable Set)：一个可以通过一套固定的印符规则（形式系统）生成的集合。这相当于艺术中的“流畅可画出的图形”（正空间）。例如，所有合数的集合。
• 递归集 (Recursive Set)：一个本身是递归可枚举的，并且其补集（衬底/负空间）也是递归可枚举的集合。这相当于“倍流畅图形”，其图形和衬底都可以被明确地画出。

本书揭示了一个深刻的限制性结果：并非所有递归可枚举集都是递归的。这意味着存在一些形式系统，其定理集（图形）是可以通过规则生成的，但其非定理集（衬底）却无法用任何形式系统生成。

“递归可枚举”这个词（通常缩写为“r.e.”）是我们那个艺术上的“流畅可画出”概念的数学对应物——而“递归”则是“倍流畅”的对应物。

存在一个形式系统，其负空间（非定理集）不是任何一个形式系统的正空间（定理集）。

后来证明了，这个结果与概念-哥德尔不完全性定理具有同样的深度。